Версия для слабовидящих: Вкл Выкл Изображения: Вкл Выкл Размер шрифта: A A A Цветовая схема: A A A A

ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИЧЕСКОЙ ГОТОВНОСТИ УЧИТЕЛЯ К ПРЕПОДАВАНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ СТОХАСТИКИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 

Терехова Л.А.
Россия, Орловский государственный университет
lterehova@mail.ru

Увеличивающийся поток информации окружающий современного человека требует от него не просто обладание знаниями, но и наличие умений анализировать поступающую информацию, сопоставлять её и принимать решения. Поскольку некоторые события могут произойти или не произойти, наступить с большей или меньшей вероятностью, то у современных школьников необходимо развивать комбинаторный стиль мышления, вероятностное представления о мире и происходящих процессах. Однако «традиционная» математика абстрактна и отстраненна от реального мира и не позволяет учащимся применять свои знания на практике, в повседневной жизни. Поэтому в 2003 г. Министерство образования и науки РФ издало директиву «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (№ 03-93 ин/13-03 от 23.09.2003). Элементы стохастики направлены на обогащение школьного курса математики практической направленностью, иллюстрируют возможность применения математического аппарата для анализа происходящих событий и явлений. В стандарте основного общего образования сказано, что математика должна обеспечить у учащихся «осознание значения математики в повседневной жизни» и «формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления» [1, с. 13].

В связи с этим в школьный курс математики были включены новые понятия и представления:

  1. Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
  2. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.
  3. Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Новые понятия изучаются в школьном курсе математики с целью формирования у учащихся определенных навыков, представлений и знаний:

- знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов;

- извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

- решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;

- вычислять средние значения результатов измерений;

-  находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

- находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни [2, с. 117].

В связи с этим введение в структуру школьного курса математики требует времени и нуждается в накоплении методического опыта у учителя. В.Д. Селютин в своей монографии «Научные основы методической готовности учителя к обучению школьников стохастике» формулирует ряд условий, необходимых для формирования методической готовности учителя к обучению стохастике [3]:

- знание концептуальных основ построения вероятностно-статистической содержательно-методической линии школьной математики;

- владение разнообразными методами вероятностно-статистического анализа окружающих явлений, вероятностного моделирования и познания статистических закономерностей реальной действительности;

- использование методологии современной науки, основ статистического стиля мышления, философского осмысления глубокого внутреннего единства эмпирического и теоретического уровней познания мира случайного;

- применение принципов методического проецирования стохастики на школьное обучение;

- владение педагогическими технологиями, основанными на процессуальных особенностях обучения детей стохастике.

Таким образом, только методически подготовленный учитель математики способен раскрыть весь потенциал стохастической содержательно-методической линии, сделать процесс обучения увлекательным и познавательным и сформировать должным образом новые понятия и представления.

Однако любая методика изложения учебного материала формируется на тех учебниках и учебно-методических пособиях, которые предусмотрены программой. Современное образование построено таким образом, что перед учителем открывается возможность выбора программы обучения, её уровни сложности и соответствующего методического сопровождения. Проведенный анализ всего разнообразия методических наработок и рекомендаций [4] позволил выделить два основных подхода к введению элементов стохастики в школьный курс математики:

  1. Включение стохастики в школьную программу в виде отдельных глав и параграфов современных школьных учебников (Г.В. Дорофеев, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, И.Ф. Шарыгин и др.).
  2. Изучение стохастики в качестве дополнительных элективных курсов (факультативных занятий) (О.Н. Троицкая, С.В. Щербатых и др.).

Поскольку в последние несколько лет элементы стохастики вошли не только в содержание школьной математики, но и в единый государственный экзамен по математике, то остановимся только на первом подходе.

Проведем сравнительный анализ основных учебников и учебно-методических пособий содержащих в своих разделах элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Рассмотрим, в какой последовательности авторы учебников вводят основные понятия и представления.

Анализ учебно-методических комплексов  для эффективности введения стохастической линии в школьное образование

 

Математика 5-6 , Алгебра 7-9. под редакцией Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

Алгебра 7-9.Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А.

Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк

5 класс

Комбинаторные задачи. Метод перебора возможных вариантов, дерево возможных вариантов. Случайные события: случайные, достоверные, невозможные и равновероятные события. Таблицы и столбчатые диаграммы (как способ представления информации).

 

 

6 класс

Таблицы, столбчатые и круговые (для представления соотношения между частями целого). Комбинаторика: перебор и правило умножения. На основе экспериментов вводится понятие «частота и вероятность случайных событий»

 

 

7 класс

Основные статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, размах. Перестановки. Вероятность и частота случайных событий.

Частота случайного события. Оценка вероятности случайного события по частоте. Вероятностная шкала.

Графическое представление данных. Количественная оценка вероятности случайного события.

Основные статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

8 класс

Повторение статистических характеристик. Медиана. Таблица частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. Классическое определение вероятности.

Статистические характеристики ряда данных: мода, медиана, среднее арифметическое, размах. Таблица частот. Вероятность равновозможных событий. Классическая формула вычисления вероятности события и условия ее применения. Геометрические вероятности.

Организация статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Интервальный ряд, сплошное и выборочное исследование, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Полигон и гистограмма.

9 класс

Вводится определение статистики, примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия: выбор, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Полигон, выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Генеральная совокупность и выборка. Ранжирование данных. Полигон частот. Интервальный ряд. Гистограмма. Выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Примеры комплексных статистических исследований, в которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках.

Элементы комбинаторики: метод перебора возможных вариантов.Перестановки. Размещения.  Сочетания. Дерево возможных вариантов. Правило умножения.

Вводят понятия: случайное событие и относительная частота случайного события, статистическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними понятия несовместных, противоположных событий.

10-11 класс

-

-

-

Замечания:

Во-первых, курс рассчитан на 5–9-е классы, в то время как большинство других учебных пособий предлагают рассматривать стохастический материал лишь с 7-го по 9-й класс. Во-вторых, изложение стохастического материала происходит параллельно с традиционным.

Особенностью принятой в учебнике методики является статистический подход к понятию вероятности. На его основе также вводится гипотеза о равновероятности, позволяющая применять классическую формулу вычисления вероятности события. Также рассматривается геометрический подход к понятию вероятности.

Это пособие  дополняет учебники Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» под редакцией С.А. Теляковского.

Как мы видим, авторы каждого из рассмотренных учебных пособий, предлагают свою последовательность изучения стохастического материала. Например, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и Бунимович Е.А. знакомят учащихся с статистическими характеристиками данных в начале 8 класса, а Макарычев Ю.Н. и Миндюк Н.Г. рекомендуют изучать этот материал в 7 классе. Таким образом, авторы разных учебников и учебно-методических пособий вводят ряд понятий не только в разной последовательности, но и в разных классах обучения основной школы. Поэтому методика изложения материала у каждого автора отличается и основывается на ранее изученном материале.

Также отличается и манера расположения стохастических понятий относительно основного «традиционного» материала. Он располагается чаще в конце учебника и его изучение приходится на конец учебного года. В связи с этим изложение стохастического материала происходит обособлено от традиционных разделов школьного курса математики, что не позволяет реализовать принцип преемственности в изложении понятий и представлений. Как мы видим, у авторов нет также и единого мнения относительно начала обучения стохастической линии: с 5 класса или с 7 класса. Следует также заметить, что в учебниках по алгебре и началах анализа вообще отсутствует стохастический материал. В этот период времени его изучают на элективах по математике.

Таким образом, введение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школьный курс математики обострило проблемы методической готовности учителей к изложению нового материала. Основной проблемой является то, что школьников нельзя ориентировать на вузовский принцип построения курса теории вероятностей и математической статистики. Он сложен для их восприятия и понимания. Обучение вероятностной линии не может проходить в отрыве от того математического аппарата, которым они уже владеют и овладеют в будущем. Поэтому элементы теории вероятности и математической статистики должны быть «спроецированы» на школьный курс математики.

В связи с этим учитель должен быть методически готов к изложению трудного материала простым, понятным языков. Это достигается только при опоре на примеры, с которыми учащиеся встречаются в повседневной жизни. С этой точки зрения, наиболее эффективна методика изложения материала с проведением большого количества экспериментов. Отображение результатов эксперимента в наглядной форме. Чтение и анализ графиков постепенно приводит учащихся к понятию частоты события и на его основе уже вводится понятие вероятности события. В этом случае перед учителем открывается возможность проводить уроки в новом эвристическом формате. Учащиеся не получают знания в готовом виде, а приходят к ним постепенно, методом проб и ошибок, что активирует их познавательную деятельность. И на этом этапе перед учителем встает задача объяснить, почему при решении проблемы нет однозначного или определенного ответа и направить рассуждения учащихся в нужное русло. Поэтому учитель должен иметь хорошую методическую подготовку, он должен свободно владеть материалом и уметь его применять на практике.

Современный учитель математики выступает не только в качестве носителя информации, он является своеобразным «инструктором», владеющим навыками практического применения полученных знаний в процессе ознакомления с новыми понятиями и темами. Для этого он должен излагать материал не просто отдельными частями, а уметь связывать между собой отдельные блоки учебной программы в единую систему знаний. Именно это является на сегодняшний день эталоном педагогического мастерства и залогом успешного обучения.

Литература

  1. Приказ Министерства образования и науки РФ от 17 декабря 2010 г. № 1897 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования» [Электронный ресурс] – режим доступа http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/55070507/
  2. Российский общеобразовательный портал. Стандарт основного общего образования по математике. [Электронный ресурс] – режим доступа http://www.school.edu.ru/dok_edu.asp?ob_no=19811
  3. Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя обучению школьников стохастике. Орел, 2002.
  4. Селютин В.Д., Терехова Л.А. Укрепление внутрипредметных связей школьного курса математики средствами стохастики. Орёл, 2008.