Научно-образовательный центр по гармоническому анализу, теории представлений групп и квантованию

Создана:

в 2000 году

Регламентирующие документы:

Основное направление исследований тамбовской школы - это матричные и полиномиальные алгоритмы в коммутативных областях. Большинство работ опубликовано именно по этому направлению. Тамбовская школа признается ведущей в мире по символьным вычислениям в линейной алгебре. Работы по этому направлению уже много лет ведутся в сотрудничестве с кафедрой алгебры Московского государственного университета и Университетом Фессалии (Греция).

Большой цикл работ был посвящен приложениям систем компьютерной алгебры в естествознании и педагогике. Этой теме посвящены четыре учебных пособия, изданных в университете. В большой мере этим работам способствовали личные контакты с сотрудниками института "Вольфрам Ресерч Инк." (США), который разрабатывает систему Mathematica

История алгебраических вычислений:

Одной из первых в мире систем для аналитических вычислений была отечественная систем АНАЛИТИК, созданная в 60-е годы в Киеве под руководством В.М.Глушкова для машины МИР-1. Распространение больших машин IBM, а затем и персональных машин, привело к созданию большого числа программных пакетов, которые носят название систем компьютерной алгебры. Одной из первых систем для больших машин была система Schoonschip, которую в 1960-е годы разработал нидерландский физик Martinus J. G. Veltman. Эту систему применил его ученик Gerardus 't Hooft и с ее помощью он доказал возможность перенормировки неабелевых калибровочных теорий. За это в 1999 году они оба были награждены Нобелевской премией по физике.

Алгебраические вычисления (или компьютерная алгебра) - это раздел алгебры, в котором разрабатываются конструктивные методы решения алгебраических задач, оценивается сложность этих методов и анализируется эффективность реализации в компьютерных системах. Компьютерная алгебра использует методы общей алгебры, математического анализа, теории алгоритмов, математической теории сложности, теории графов и др.

Компьютерная алгебра, как самостоятельная дисциплина, сформировалась уже к началу 80-х годов. В 1982 году выходит первая коллективная монография по компьютерной алгебре под редакцией Бруно Бухбергера с обзором основных результатов и систематизацией главных направлений.

В университете развитие этого научного направления связано с приходом 1995 году Геннадия Ивановича Малашонка и началом работы научного семинара по компьютерной алгебре под его руководством. Окончив Львовский государственный университет, он работал в Физико-механическом институте АН, Институте прикладных проблем механики и математики АН и в Киевском государственном университете. Кандидатскую диссертацию по алгебре он защитил в КГУ (1987), а докторскую диссертацию - по компьютерной алгебре - в МГУ (2002).

Научные исследования по компьютерной алгебре в Державинском университете проводятся в лаборатории алгебраических вычислений, на кафедре функционального анализа, в аспирантуре по специальности "Математическое и программное обеспечение вычислительных машин комплексов и компьютерных сетей", в магистратуре "Компьютерная математика".

Двадцать лет работает в Державинском университете научный семинар по компьютерной алгебре. Основной состав участников семинара в последние годы составляли: А.А.Бетин, И.А.Борисов, Е.В.Дубовицкий, Д.С.Ивашов, Е.А.Ильченко, С.А.Киреев, В.А.Корабельников, А.О.Лапаев, Н.А.Малашонок, О.Н.Переславцева, А.Г.Поздникин, М.А.Рыбаков, Р.А.Смирнов, М.В.Старов, С.М.Тарарова, С.А.Хворов, А.С.Щербинин.

В первые годы в нем участвовали А.Ю.Арутюнов, А. А.Андреев, Ю.Д.Валеев, Д.В.Горлов, С.В.Гурьев, ,А.М.Добычин, A. М. Егоров, М.С.Зуев, А.В.Красиков В.Н.Казаков, М. А. Каткова, Е.Н.Козинцев, О.В.Крючин, С.С.Михайлов, О.В. Мачалина, Н.А.Рамзина Е.С.Сатина, О.А.Сажнева, Е. В. Ушакова, Д.И.Шляпин, Ю.Ю.Юрин.

Исследования по алгоритмам компьютерной алгебре:

Основное направления исследований тамбовской школы - это матричные и полиномиальные алгоритмы в коммутативных областях. Тамбовская школа признается ведущей в мире по символьным вычислениям в линейной алгебре. Работы по этому направлению уже много лет ведутся в сотрудничестве ПОМИ РАН, KГУ имени Т.Г.Шевченко, Национальным университетом "Киево-Могилянская академия", ЛГУ имени И.Франко, Университетом Фессалии (Греция), Канзасским университетом (США), Институтом ситемного программироания АН, МГУ имени Ломоносова.

Большой цикл работ был посвящен приложениям систем компьютерной алгебры в естествознании и педагогике. Этой теме посвящены четыре учебных пособия, изданных в Университете. В большой мере этим работам способствовали личные контакты с сотрудниками института "Вольфрам Ресерч Инк." (США), который разрабатывает систему Mathematica

В последние годы ведутся исследования по сложности полиномиальных и матричных алгоритмов, по символьным алгоритмам решения дифференциальных уравнений, вычислению характеристических полиномов, параллельному вычислению базисов Гребнера, применению FFT алгоритмов в матричных вычислениях, вычислениям базисов Гребнера, символьному интегрированию, факторизации полиномов и упрощению композиций элементарных функций.

Разработанные алгоритмы были использованы в системе компьютерной алгебры "Математически партнер". Эта облачная система компьютерной алгебры сегодня свободно доступна на сервере http://mathpar.cloud.unihub.ru Института Системного Программирования РАН. Она может использоваться для научных и инженерных расчетов, для совершенствования образовательного процесса в школьном и в высшем образовании.

Исследования по параллельным вычислениям в компьютерной алгебре:

Задачи компьютерной алгебры характеризуются высокой степенью сложности. Для их решения необходимы высокопроизводительные вычислительные средства с распределенной памятью. Одна из центральных задач сегодня в компьютерной алгебре - это организация параллельного вычислительного процесса для решения задач на таких суперкомпьютерах.

Была разработана уникальная технология организации параллельного вычислительного процесса для задач компьютерной алгебры. Ее основу составляют матричные рекурсивные алгоритмы с древовидными графами алгоритмов.

Для основных полиномиальных и матричных типов данных компьютерной алгебры разработаны представления, эффективные для проведения параллельных вычислений - массивы рекурсивных деревьев. Они позволяют эффективно хранить такие типы данных, рекуррентно разбивать их на части и составлять из частей. Для них предложены две концепции управления параллельным вычислительным процессом: с ценральным управлением и с динамическим децентрализованным управлением. Разработаны алгоритмы полиномиальной алгебры многих переменных и матричной алгебры над над ними. Реализованы алгоритмы вычисления определителей, присоединенных и обратных матриц.

Разработаны параллельные алгоритмы в кольце рациональных чисел и конечных полях для умножения полиномов многих переменных и умножения матриц. Эксперименты на кластере показали 80-85% рост скорости вычисления произведения операндов с ростом числа процессоров кластера. На основе этих параллельных алгоритмов разработаны алгоритмы вычисления определителей, вычисления присоединенных и обратных матриц, решения систем линейных уравнений, использующие параллельное блочное умножение.

Разработаны параллельные программы для вычисления характеристического полинома матрицы. Эксперименты на 500-процессорном кластере продемонстрировали близкое к 95% ускорение вычисление с ростом числа использованных процессоров для задачи точного вычисления характеристического полинома с применением методов КТО.

Первые эксперименты с параллельными алгебраическими алгоритмами проводились в 2004 году на 16-процессорном кластере Института системного программирования РАН, при тесном сотрудничестве с группой А.И.Аветисяна.

В январе 2006 года в Лаборатории алгебраических вычислений был установлен крупнейший на то время в Черноземье вычислительный Myrinet-кластер на 16 процессорах Intel с производительностью 75 Гфлоп. Был организован доступ на кластер со всех компьютеров Державинского университета. Курсы по параллельному программированию были включены в учебные планы новых математических и компьютерных специальностей, лицензированных в 2007 и 2008 году в университете.

В 2007 году был заключен договор с руководством Межведомственного Суперкомпьютерного Центра РАН, где установлен крупнейший в России вычислительный кластер. И с этого времени проводятся эксперименты на кластере МСЦ РАН в режиме удаленного доступа с использованием в экспериментах до 7000 процессоров одновременно.

С 2006 по 2016 год издан цикл учебных пособий по параллельному программированию на OpenMPI Java. Новые параллельные алгоритмы разрабатываются в магистерских и аспирантских диссертациях, в дипломных работах бакалавров.

Научные связи:

Научные связи по компьютерной алгебре связывают Тамбов с московским, киевским и ереванским университетами, с Петербургским отделением Института математики РАН, Вычислительным Центром РАН, с международным Институтом ядерных исследований, Институтом системного программирования РАН, Институтом информатики и проблем автоматизации АН Армении, институтом "Вольфрам Ресерч Инк." (США), Фессалийским университетом (Греция), университетом Або (Финляндия), Научно-исследовательским Институтом Символьных Вычислений университета Линца (Австрия), Университетом Генуи (Италия) и другими научными центрами.

Результаты исследований докладывались на многих международных конференциях, таких как "Эффективные методы алгебраической геометрии" (Кастилиончелло, Италия, 1990), "Международный симпозиум по символьным вычислениям" (Лиль, Франция, 1993), "Вычислительная коммутативная алгебра" (Генуя, Италия, 1995), XV Всемирный конгресс Международной ассоциации по математическому и компьютерному моделированию (Берлин, Германия, 1997), "Эффективные методы алгебраической геометрии" (Сан-Мало, Франция, 1998), V Международная конференция "Приложения компьютерной алгебры" (Мадрид, Испания, 1999), "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (Констанц, Германия, 2001), VIII Международная конференция "Приложения компьютерной алгебры" (Волос, Греция, 2002). "Компьютерные науки и информационные технологии" (Ереван, Армения, 2005), "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (Кишинев, Молдавия, 2006), "Приложения компьютерной алгебры" (Варна, Болгария, 2006), "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (Бонн, Германия, 2007), "Приложения компьютерной алгебры" (Хагенберг, Австрия, 2008). (Влора, Албания, 2010), (София, Болгария, 2012),

В рамках международных конференций "Приложения компьютерной алгебры" силами тамбовской школы компьютерной алгебры были организованы заседания специальных сессий по "Параллельной компьютерной алгебре" в Варне, Болгария, в 2006 году, в Хагенберге, Австрия, в 2008 году, во Влоре, Албания, 2010 году, в Софии, Болгария, 2012. Работа сессии в Хагенберге была отмечена ценным подарком от председателя оргкомитета конференции Бруно Бухбергера.

С 2013 года совместно с Фессалийским университетом (Греция) организуются ежегодные международные конференции "Mathematical Partnership, Parallel Computing and Computer Algebra".

Уже состоялось четыре конференции: Родос, Греция (2013), Мохлос, Греция (2014), Або, Финляндия (2015), Агия Праскеви, Греция (2016). Иерусалим, Израиль (2017).

Гранты:

Научные исследования поддержаны российскими и международными грантами: РФФИ (2016-2018), (2012-2014), программа Развитие научного потенциала Высшей школы (2009-2010), гранты РФФИ и Тамбовской области (2008), РФФИ 02.01.10739 (2003) и 04.07.90268 (2004-2006), программа "Университеты России" 04.01.051 (2004) и 04.01.464 (2005), грант Министерства Образования Е02-20-98 (2002-2004), грант Human Capital Foundation (Великобритания) 23-03-24 (2004), грант "Mathematica" (Вольфрам Ресерч Инк., США) (2001), грант Фонда научных исследований и развития США (CRDF), TGP352 (2000).

Руководитель является лауреатом Государственной научной стипендии РАН (по информатике) 2000-2003гг. Аспиранты и студенты награждались многократно президентскими и правительственными стипендиями и грантами.

Сотрудники:

1. Г.И.Малашонок. Решение системы линейных уравнений в целостном кольце. Журнал вычислит. матем. и матем. физ T.23, No. 6, 1983, 1497-1500,
2. Г.И.Малашонок. О решении системы линейных уравнений над коммутативным кольцом. Мат. заметки, 1987, T. 42, No 4, 543-548,
3. G.I. Malaschonok. Algorithms for the solution of systems of linear equations in commutative rings. Effective methods in Algebraic Geometry, Progr. Math., V. 94, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1991, 289-298.
4. Г.И.Малашонок. Алгоpитмы вычисления опpеделителей в коммутативных кольцах. Дискpетная математика., 1995, Т. 7, No. 4, 68-76,
5. A.G. Akritas, E.K. Akritas, G.I. Malaschonok. Matrix computation of subresultant polynomial remainder sequences In integral domains. Reliable Computing, 1995, Vol. 1, No 4, 375-381.
6. A.G. Akritas, E.K. Akritas, G.I. Malaschonok. Various proofs of Sylvester's (determinant) identity. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 42, 1996, No.4-6, 585-593.
7. G.I. Malaschonok. Recursive Method for the Solution of systems of Linear Equations, Computational Mathematics / A. Sydow Ed., Pro. of the 15th IMACS World Congress Vol. I, Berlin, August 1997 // Wissenschaft and Technik Verlag, Berlin, 1997, 475-480.
8. G.I. Malaschonok. A Computation of the Characteristic Polynomial of an Endomorphism of a Free Module, Записки научных семинаров С-Пб. Отдел. Математ. Ин-та. им. В.А.Стеклова (ПОМИ), Теория динамических систем, комбин. и алгебр. методы, T.258, 1999, 101-114.
9. G.I. Malaschonok. Effective Matrix Methods in Commutative Domains, Formal Power Series and Algebraic Combinatorics,Springer, Berlin, 2000, 506-517.
10. A.G.Akritas, G.I. Malaschonok. Fast Matrix Computation of Subresultant Polynomial Remainder Sequences, Computer Algebra in Scientific Computing, CASC 2000, Springer, 2000, 1-11.
11. J. Abdeljaoued, G.I. Malaschonok. Efficient Algorithms for Computing the Characteristic Polynomial in a Domain, J. of Pure and Applied Algebra, V. 156, I. 2-3, 2001, 127-145.
12. G.I. Malaschonok. Solution of Systems of Linear Diophantine Equations, Computer Algebra in Scientific Computing - CASC'01, Springer, 2001, 401-415.
13. Г.И.Малашонок. Матричные методы вычислений в коммутативных кольцах /монография/. Тамбов, ТГУ, 2002, 213 p.
14. Г.И.Малашонок, О решении систем линейных уравнений р-адическим методом. Программирование , N2, 2003, 8-22.
15. Г.И.Малашонок, Е.С.Сатина. Быстрое умножение и разреженные структуры. Программирование , N2, 2004, с.1-5.
16. G.I.Malaschonok. Complexity Considerations in Computer Algebra. Computer Algebra in Scientific Computing. Techn. Univ. Munchen, Garching, Germany, 2004, 325-332.
17. A.G.Akritas, G.I.Malaschonok. Applictions of singular-value decomposition (SVD). Mathematics and computers in simulation, vol.67, iss.1-2, no.3, 2004, 15-31.
18. N.A. Malaschonok. Parallel Laplace method with assured accuracy by symbolic computations. "Computer Algebra in Scientific Computing". LNCS 4194, Springer, Berlin, 2006, p. 251-260.
19. Akritas A.G., Malaschonok G.I. Computation of Adjoint Matrix. Computational Science, ICCS 2006, LNCS 3992, Springer, Berlin. 2006, 486-489.
20. Akritas A.G., Malaschonok G.I., P.S.Vigklas. The SVD-Fundamental Theorem of Linear Algebra. Nonlinear Analysis: Modeling and Control, V.11, No.2, 2006, 123-136.
21. Akritas A.G., Malaschonok G.I. Computations in Modules over Commutative Domains. Computer Algebra in Scientific Computing, LNCS 4770, Springer, 2007, 44-59.
22. Akritas A.G., Malaschonok G.I. Computations in Modules over Commutative Domain. Computer Algebra in Scientific Computing, Springer, Berlin, 2007, 11-23.
23. N.A. Malaschonok. Solving differential equations by parallel Laplace method with assured accuracy. . "Serdica Journal of Computing", Sophia, Bulgaria. V.1, N. 4, 2007, p. 387-402
24. Г.И. Малашонок. О вычислении ядра оператора, действующего в модуле. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 13, вып. 1, 2008. С.129-131.
25. Переславцева О.Н. О вычислении коэффициентов характеристического полинома. // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т.9. 366-370
26. Malaschonok N. An algorithm for symbolic solving of differential equations and estimation of accuracy. Computer Algebra in Scientific Computing. 11th International Workshop, CASC 2009, Kobe, Japan, September 2009. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009. P. 213-225.
27. Malaschonok G. I., Valeev Yu. D., Lapaev A. O. On the choice of multiplication algorithm for polynomials and polynomial matrices. // Zapiski POMI. 2009. V. 373. P. 157-188
28. Malaschonok G. I. Fast Generalized Bruhat Decomposition. Computer Algebra in Scientific Computing, LNCS 6244, Springer, Berlin 2010. P. 194-202.
29. Pereslavtseva O.N. The computation of the characteristic polynomial of the matrix. Discrete Mathematics. V. 23, Issue . 1, 2011, P. 28-45.
30. Malashonok N.A. Symbolic solving of partial differential equations systems and compatibility conditions. Serdica J. Computing, Vol.7, N.3, 2013, 199-214
31. G.I.Malaschonok. Generalized Bruhat decomposition in commutative domains /in book: Computer Algebra in Scientific Computing. CASC'2013. LNCS 8136, Springer, Heidelberg, 2013, pp.231-242.
32. N.A. Malashonok, M.A.Rybakov. Symbolic-Numerical Solution of Systems of Linear Ordinary Differential Equations with Required Accuracy. Programming and Computer Software, 2013, Vol. 39, No. 3, P. 150-157.
33. A.G. Akritas, G.I. Malaschonok, P.S. Vigklas. On a Theorem by Van Vleck Regarding Sturm Sequence //Serdica J. Computing V.7, No 4, 2013, 389 - 422.
34. A.G. Akritas, G.I. Malaschonok, P.S. Vigklas. Sturm Sequences and Modfied Subresultant Polynomial Remainder Sequences // Serdica Journal of Computing, V.8, No 1, 2014, 101 - 118.
35. A.G. Akritas, G.I. Malaschonok, P.S. Vigklas. On the remainders obtained in finding the greatest common divisor of two polynomials // Serdica J. Computing V.9, No.2, 2015, 123 - 138.
36. Malaschonok G.I., Scherbinin A.S. Triangular Decomposition of Matrices in a Domain. Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS 9301, Springer, Switzerland, 2015, P.290-304.
37. A.G. Akritas, G.I. Malaschonok, P.S. Vigklas. Subresultant Polynomial Remainder Sequences Obtained by Polynomial Divisions in Q[x] or in Z[x] // Serdica J. Computing, 2016
38. A.G. Akritas, G.I. Malaschonok, P.S. Vigklas. A Basic Result on the Theory of Subresultants // Serdica J. Computing, 2016
39. A.G.Akritas, G.I.Malaschonok Gennadi. P.S.Vigklas. Subresultant polynomial remainder sequences obtained by polynomial divisions in Q[x] or in Z[x] // Serdica J. Computing. V.10. N.3. 2016. P. 197 - 217.
40. Глазков С.А., Рыбаков М.А. Алгоритмы решения простых типов обыкновенных дифференциальных уравнений в MATH PARTNER // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Т.22. Выпуск 6. Тамбов, 2017. С. 1268-1276.
41. Малашонок Г.И. Применение сервиса MаthPartner в образовании // Компьютеpные инстpументы в обpазовании. №3. С.-Пб., 2017. С. 29-37.
42. G. I. Malaschonok. MathPartner Computer Algebra // Programming and Computer Software, 2017, Vol. 43, No. 2, pp. 112 - 118.

Контакты:

Руководитель: Переславцева Оксана Николаевна

E-mail: oxana.pereslavtseva@gmail.com

Сайт: http://parca.tsutmb.ru